Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Hàm số xác định trên R

Ta có \(y'=-2+m\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}};y"=\frac{m}{\left(x^2-4x+5\right)^{\frac{3}{2}}}\)

- Nếu m = 0 thì y' = -2 nên hàm số không có cực trị

- \(m\ne0\) vì dấu của y" chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực đại thì trước hết \(y"=0\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=m\left(x-2\right)\left(1\right)\)

Đặt \(t=x-2\) thì (1) trở thành \(mt=2\sqrt{t^2+1}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}t\le0\\\left(m^2-4\right)t^2=1\end{cases}\)

                                                                      \(\Leftrightarrow\begin{cases}t\le0\\t^2=\frac{1}{m^2-4}\end{cases}\) (3)

=> (3) có nghiệm \(\Leftrightarrow m^2-4>0\Leftrightarrow m< -2\) (Do m < 0)

Vậy m < - 2 thì hàm số có cực đại

Hàm số xác định trên R

Ta có : \(y'=-2+m\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}};y''-\frac{m}{\left(x^2=4x+5\right)^{\frac{3}{2}}}\)

- Nếu \(m=0\) thì \(y'=-2\) nên hàm số không có cực trị 

- \(m\ne0\) vì dấu của y'' chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết \(y"=0\Leftrightarrow m< 0\), khi đó hàm số có cực đại \(\Leftrightarrow\) phương trình y' = 0 có nghiệm

Ta có : \(y'=0\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=m\left(x-2\right)\left(1\right)\)

Đặt \(t=x-2\) thì (1) trở thành \(mt=2\sqrt{t^2+1}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}t\le0\\\left(m^2-4\right)t^2=1\end{cases}\)

                                                                       \(\Leftrightarrow\begin{cases}t\le0\\t^2=\frac{1}{m^2-4}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left(3\right)\) có nghiệm \(m^2-4>0\Leftrightarrow m< -2\) (do m < 0)

Vậy m < -2 thì hàm số có cực đại

Ta có: y^'= x² - 3x - m -1 + (2x - 3)( x - m) = 3x² - (2m + 6)x + 2m-1

y^'=0 ↔ 3x² - (2m + 6)x + 2m-1 = 0        (1)

Để hàm số y= (x - m)( x² - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thì phương trình y^'=0 có 2 nghiệm phân biệt ↔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ↔ Δ^' > 0 ↔ (m+3)² - 3(2m-1) >0  ↔ m² + 12 > 0   ( mọi m)

→ Hầm số luôn có cả cực đại và cực tiểu.

Gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1)

Khi đó, theo định lý Vi-ét, nghiệm của phương trình (1) là:  x₁ + x₂ = ( 2m+6)/3    ; x₁x₂= (2m -1)/3

Theo bài ra, ta có: | x_CĐ - x_CT| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)

↔| x₁ - x₂| \(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) ↔ 9| x₁ - x₂|² \(\ge\) 52   ↔  9( x₁ + x₂)² - 36x₁x₂ \(\ge\) 52

↔ m^2 \(\ge\) 1

→ \(m\ge1\) hoặc \(m\le-1\)

Hàm số xác định trên R

Ta có \(y'=3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1=0\left(1\right)\)

Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2+7>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge\frac{52}{9}\end{cases}\)

Theo định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\frac{2m-1}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(\left(\frac{2\left(m+3\right)}{3}\right)^2-4\frac{2m-1}{3}\ge\frac{52}{9}\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

Vậy m\(\in\)(-\(\infty;-1\)] \(\cup\) [\(1;+\infty\))

Đáp án D.

y = -x³ + (2m – 1)x² – (2 – m)x – 2

TXĐ: D = R

y' = -3x² + 2(2m – 1) – 2 + m

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu <=> Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

<=>  Δ’ = (2m – 1)² + 3(-2 + m) > 0 <=> 4m² – m – 5 > 0 <=> m ∈ (-∞; -1) ∪ (5/4; +∞)

\(y'=3\left(m-1\right)x^2-6x-\left(m+1\right)\)

Hàm có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(m-1\right)\ne0\\\Delta'=9+3\left(m-1\right)\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m^2>-2\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m\ne1\)

Với \(x\ne2\) ta có \(y=1-\frac{m}{\left(x-2\right)^2}\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow\) phương trình \(\left(x-2\right)^2-m=0\) (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 \(\Leftrightarrow m>0\)

Với m>0 phương trình (1) có 2 nghiệm là :

\(x_1=2+\sqrt{m}\Rightarrow y_1=2+m+2\sqrt{m}\)

\(x_2=2-\sqrt{m}\Rightarrow y_2=2+m-2\sqrt{m}\)

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(A\left(2-\sqrt{m};2+m-2\sqrt{m}\right);B\left(\left(2+\sqrt{m};2+m+2\sqrt{m}\right)\right)\)

Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình :

\(\left|2-m-\sqrt{m}\right|=\left|2-m+\sqrt{m}\right|\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m=2\end{cases}\)

Đối chiếu điều kiện thì m=2 thỏa mãn bài toán. Vậy yêu cầu bài toán là m=2

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)

Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)

Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)

Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=0\)

Ta có:  y ' = - 3 x 2 + 2 ( 2 m - 1 ) x + m - 2 ( * )

Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: phương trình có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Chọn C.